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第四章 傅立叶杂谈（第1页）

第四章傅立叶杂谈

一傅里叶变换的物理意义

对模拟量进行采样时，得到了一系列的采样值，这一系列看似杂乱无章的数字代表着什么？又孕育着什么内在规律呢？我们可以有很多种方法来探究。比如，统计学中采用均值、方差等统计学方法来寻找这一组数字的内在特征。同样，傅里叶变换就是使用频域的方法来寻找它。下式表明了这种关系，即任何（周期或非周期）信号，都可以写为一系列三角函数的叠加。

f（t）=a0+Σ{anx）+bnsin（nx）}将时域的函数表示成三角函数有什么好处呢？我们看到，这些不同频率（即不同的n）的三角函数，它们之间是正交的，即它们作用于系统得到的不会互相影响。这样，就可以把每个频率的信号拿出来单独分析，然后再叠加起来。自控原理中伯德图的横坐标就是频率，也就是这个意思：分别考察系统对不同频率信号的衰减作用。

它与拉氏变换一样，都是将时域映射到频域。不同之处在于，拉氏变换是处理微分方程的，它的最初目的是将微分运算转化为容易求解的代数运算。而傅里叶变化是处理静态的时间函数，来寻找其中隐含着的周期性的。

傅里叶变换除了用在控制理论的频域分析中外，还有很多应用。如

1。去噪：噪声往往表现为高频信号，即n较大，去掉傅里叶变换后较大频率的系数，然后反变换回去就达到了去噪的目的。

2。信号压缩：先进行变换，只传输三角函数的系数，在接收端再进行反变换，这样比传输一堆采样值的效率搞多了。

另外值得一说的是，这种把任意信号转化为周期性的三角信号叠加的方法仅仅是一种分析问题的方法。有些物理信号进行变换后是有明确物理意义的，如可见光可以分解为几种颜色光；而有些物理信号并没有明确的物理意义。千万不要以为，所有的信号，如模拟量，都是由系统先产生很多频率的周期信号再叠加而成。